label {
font-family: Heebo, Arial, sans-serif;
font-weight: bold;
}
סמנו ב-✔, או בטלו את הסימון, כדי להראות/להחביא את החלקים השונים:הגדרותמשפטיםהוכחותדוגמאותלחצו על תגיות ה-"הוכחה." כדי להראות/להחביא הוכחות
כל פקודה תתחיל ב-MKגדולות עש מיכאל קלי (Michael Kali), וזאת משתי סיבות:
כדי שבטבלת הקיצורים שבתוך \SpecialChar LyX תופענה כל הפקודות זו לצד זו.
הבחירה דווקא באותיות גדולות נועדה לוודא שהפקודות אינן מתנגשות עם פקודות \SpecialChar LaTeX מקוריות.
על הפקודות להיות קצרות ככל האפשר, וזאת כדי לאפשר את כתיבתן במהירות מבלי ליצור להן קיצור מקלדת. הסיבה לכך שלא ניצור קיצור מקלדת לכל פקודה היא שפעמים רבות ניצור פקודות שתיועדנה למקרים מסוימים מאוד, ואז יעבור זמן רב עד שנשתמש בקיצור המקלדת בפעם הבאה ולכן לא נזכור אותו - הרבה יותר פשוט לזכור את הפקודה שיצרנו מכיוון שיש לה תוכן אמיתי שקשור לפלט הרצוי מן הפקודה. סיבה נוספת היא שיצירת קיצור מקלדת לכל פקודה ולו החריגה ביותר תקשה עלינו ליצור קיצורי מקלדת לפקודות חשובות יותר. לפיכך פקודות שימושיות מאוד שבוודאי ניצור להן קיצור מקלדת ונשתמש בו פעמים רבות אינן צריכות להיות קצרות.
כדי להקל על כתיבת פקודות שלא יצרתי להן קיצור מקלדת כתבתי קיצור מקלדת שיוצר את הקידומת של כל פקודות ה-macrosשלי ואז כל מה שנותר הוא להקיש שלוש-ארבע אותיות כדי לבחור את הפקודה הרצויה, קיצור המקלדת המדובר הוא "Ctrl+k".
לכל גופן יש קידומת בת שתי אותיות.
\(\:\)
\(\:\)קבוצות ופונקציות לפי קורסיםLatexCommand ruleoffset "0.5ex"width "100col%"height "1pt"\(\:\)
\(\:\)המספרים המרוכבים ופונקציות מרוכבות\(\:\)
\(\newcommand{\MKcis}{\text{cis}}\)\(\cos+i\cdot\sin\). המספרים המרוכבים.
\(\newcommand{\MKre}{\text{Re}}\)החלק הממשי של מספר מרוכב. המספרים המרוכבים.
\(\newcommand{\MKim}{\text{Im}}\)החלק המדומה של מספר מרוכב. המספרים המרוכבים.מופיע גם כתמונה של פונקציה.
\(\newcommand{\MKbigcupdot}{\bigsqcup}\)איחוד זר גדול
הקוד שלהלן מייצר את הסימון לאיחוד זר כסימן של איחוד רגיל עם נקודה בתוכו. הקוד מבוסס על זה שמופיע בתגובה הרביעית שבשרשור הזה: https://tex.stackexchange.com/questions/3964/mathematical-symbol-for-disjoint-set-union.
יהי \(\left(\Omega,\MKclf,\MKbbp\right)\) מרחב הסתברות, ויהי \(\left(E,\MKclf_{E}\right)\)מרחב מדיד.
1.1 הגדרות בסיסיות
\(\clubsuit\)
עד כה, בכל פעם שרצינו לתאר שתי שאלות הסתברותיות שונות, היינו צריכים להגדיר שתי פונקציות הסתברות שונות אפילו אם מבחינה מעשית שתי השאלות חלו על אותו "ניסוי". לדוגמה: מטילים שתי קוביות, מהי ההסתברות שבאחת הקוביות יצא המספר \(2\)? ומהי ההסתברות שסכום המספרים שיצאו הוא \(2\)? זה היה די מייגע, ולכן נרצה למצוא דרך לפרמל שתי שאלות על אותו "ניסוי" ע"י מרחב הסתברות יחיד, הדרך לכך היא הגדרת משתנים מקריים.
הגדרה 1.1. הגדרה 1.1. משתנה מקרי פונקציה מדידה\(X:\Omega\rightarrow E\) תיקרא משתנה מקרי, ובמקרה שבו \(E=\MKreal^{n}\) (\(n\in\MKnatural\)) נאמר גם ש-\(X\) היא וקטור מקרי.
\(\clubsuit\)
כך למשל במקרה של הטלת שתי הקוביות נשתמש בפונקציית ההסתברות האחידה \(\MKbbp:\left[6\right]^{2}\rightarrow\MKreal\) על \(\left(\left[6\right]^{2},\MKclp\left(\left[6\right]^{2}\right)\right)\), ונגדיר שני משתנים מקריים:\[\begin{align*}
X\left(\left(\omega_{1},\omega_{2}\right)\right) & :=\begin{cases}
1 & \omega_{1}=2\lor\omega_{2}=2\\
0 & \text{אחרת}
\end{cases}\\
Y\left(\left(\omega_{1},\omega_{2}\right)\right) & :=\omega_{1}+\omega_{2}
\end{align*}\]כעת ההסתברות לכך שבאחת משתי הקוביות יצא \(2\) היא \(\MKbbp\left(X^{-1}\left(\left\{ 1\right\} \right)\right)\), וההסתברות לכך שסכום שתי הקוביות הוא \(2\) היא \(\MKbbp\left(Y^{-1}\left(\left\{ 2\right\} \right)\right)\).
\(\clubsuit\)
עוד דבר מייגע שהיה בשיטה הקודמת הוא שבכל פעם שרצינו לדבר על מאורע היינו צריכים להגדיר קבוצה שתתאר את אותו מאורע, כאשר הרבה יותר נוח לכתוב פסוק המתאר את המאורע.
תזכורת:
משפט (או טענה) הוא פסוק שמנוסח באופן כללי ע"י שימוש במשתנה שאינו מוגדר, ורק לאחר שמגדירים את המשתנה הופך המשפט לפסוק. לדוגמה: \(x^{2}=x\) אינו פסוק (שכן \(x\) אינו מוגדר), אך הוא אכן משפט.
סימון:
לכל משפט \(P\) נתייחס ל-\(P\) כמאורע \(\left\{ \omega\in\Omega\mid P\left(\omega\right)=\MKtrue\right\} \) (ניתן להבדיל בין שתי המשמעויות לפי ההקשר).
\(\clubsuit\)
בדרך כלל נשתמש בסימון זה יחד עם משתנים מקריים, כך לדוגמה ההסתברות \(\MKbbp\left(X^{-1}\left(\left\{ 1\right\} \right)\right)\) שהוזכרה לעיל ניתנת לתיאור באמצעות \(\MKbbp\left(X=1\right)\).
תזכורת:
הפונקציה המציינת של קבוצה \(A\) המוכלת בקבוצה \(B\) (ביחס ל-\(B\)), היא הפונקציה \(\chi_{A}:B\rightarrow\left\{ 0,1\right\} \) המוגדרת ע"י (לכל \(b\in B\)):\[
\chi_{A}\left(b\right):=\begin{cases}
1 & b\in A\\
0 & b\notin A
\end{cases}
\]סימון מקובל נוסף לפונקציה המציינת הוא \(\MKindicator_{A}\) או \(\MKindicator\left(A\right)\).
הגדרה 1.2. הגדרה 1.2. משתנה מציין של מאורע \(A\in\MKclf\) הוא הפונקציה המציינת של \(A\).
1.2 התפלגות
הגדרה 1.3. הגדרה 1.3. התפלגות יהי \(X:\Omega\rightarrow E\) משתנה מקרי; הפונקציה \(\MKbbp_{X}:\MKclf_{E}\rightarrow\MKreal\), המוגדרת ע"י (לכל \(S\in\MKclf_{E}\)):\[
\MKbbp_{X}\left(S\right):=\MKbbp\left(X^{-1}\left(S\right)\right)=\MKbbp\left(X\in S\right)
\]תיקרא ההתפלגות של \(X\).
הסכמה:
בהינתן קבוצות \(A\) ו-\(B\), ופונקציה \(f:A\rightarrow B^{n}\), נסמן ב-\(\MKseq f,n\) את הפונקציות המקיימות \(f\left(a\right)=\left(f_{1}\left(a\right),f_{2}\left(a\right),\ldots,f_{n}\left(a\right)\right)\) (לכל \(a\in A\)). ולהפך, בהינתן פונקציות \(\MKseq f,n:A\rightarrow B\), נסמן ב-\(f\) את הפונקציה המוגדרת ע"י \(f\left(a\right):=\left(f_{1}\left(a\right),f_{2}\left(a\right),\ldots,f_{n}\left(a\right)\right)\) לכל (\(a\in A\)).
הגדרה 1.4. הגדרה 1.4. יהיו \(\MKseq X,n:\Omega\rightarrow E^{k}\) משתנים מקריים, \(\MKbbp_{X}\) תיקרא ההתפלגות המשותפת של \(\MKseq X,n\), ו-\(\MKbbp_{X_{1}},\MKbbp_{X_{2}},\ldots,\MKbbp_{X_{n}}\) תיקראנה ההתפלגויות השוליות של \(X\).
טענה 1.5. טענה 1.5. לכל משתנה מקרי \(X:\Omega\rightarrow E\), פונקציית ההתפלגות \(\MKbbp_{X}\) היא פונקציית הסתברות על \(\left(E,\MKclf_{E}\right)\), כלומר \(\left(E,\MKclf_{E},\MKbbp_{X}\right)\) הוא מרחב הסתברות.
הגדרה 1.6. הגדרה 1.6. \(\:\)
נאמר ששני משתנים מקריים \(X,Y:\Omega\rightarrow E\)שווים כמעט תמיד, אם \(\MKbbp\left(X=Y\right)=1\), ובמקרה כזה נסמן \(X\MKalmsur Y\). ובאופן כללי, נאמר ש-\(X\) ו-\(Y\)מקיימים יחס\(\sim\)כמעט תמיד, ונסמן \(X\overset{\text{a.s.}}{\sim}Y\) אם \(\MKbbp\left(X\sim Y\right)=1\).
נאמר ש-\(X\) ו-\(Y\)שווי-התפלגות אם \(\MKbbp_{X}=\MKbbp_{Y}\), ובמקרה כזה נסמן \(X\MKdist Y\).
מסקנה 1.7. מסקנה 1.7. לכל שני משתנים מקריים \(X,Y:\Omega\rightarrow E\) כך ש-\(X\MKalmsur Y\), מתקיים גם \(X\MKdist Y\).
טענה 1.8. טענה 1.8. לכל שני משתנים מקריים \(X,Y:\Omega\rightarrow E\) כך ש-\(X\MKdist Y\), ולכל פונקציה \(f:E\rightarrow E\), מתקיים \(f\circ X\MKdist f\circ Y\).
\(\:\)
2 הסתברות מותנית ואי-תלות
סימון:
יהי \(A\in\MKclf\) מאורע (או משפט המייצג מאורע כדלעיל) כך ש-\(\MKbbp\left(A\right)>0\), כשנכתוב \(X\mid A\) נתכוון ל-\(X\) כמשתנה מקרי מעל מרחב ההסתברות \(\left(\Omega,\MKclf,\MKbbp_{A}\right)\). בפרט ההתפלגות של \(X\mid A\) היא הפונקציה \(\MKbbp_{X\mid A}\) המוגדרת ע"י (לכל \(S\in\MKclf_{E}\)):\[
\MKbbp_{X\mid A}\left(S\right)=\MKbbp_{A}\left(X\in S\right)
\]
טענה 2.1. טענה 2.1. לכל שני משתנים מקריים \(X,Y:\Omega\rightarrow E\) כך ש-\(X\MKdist Y\), ולכל \(S\in\MKclf_{E}\) כך ש-\(\MKbbp\left(X\in S\right)>0\), מתקיים \(X\mid X\in S\MKdist Y\mid Y\in S\).
הגדרה 2.2. הגדרה 2.2. נאמר שמשתנים מקריים \(\MKseq X,n:\Omega\rightarrow E\)בלתי-תלויים, אם לכל \(\MKseq S,n\in\MKclf_{E}\) המאורעות \(X_{1}\in S_{1},X_{2}\in S_{2},\ldots,X_{n}\in S_{n}\) בלתי-תלויים.
הגדרה 2.3. הגדרה 2.3. נאמר שקבוצת משתנים מקריים \(\MKcla\subseteq E^{\Omega}\) (לאו דווקא סופית) היא בלתי-תלויה, אם כל תת-קבוצה סופית של \(\MKcla\) היא בלתי-תלויה.
טענה 2.4. טענה 2.4. יהיו \(X,Y:\Omega\rightarrow E\) משתנים מקריים. אם לכל \(S_{1},S_{2}\in\MKclf_{E}\) מתקיים \(\left(Y\mid X\in S_{1}\right)\MKdist\left(Y\mid X\in S_{2}\right)\), אז \(X\) ו-\(Y\) בלתי-תלויים, ולכל \(S\in\MKclf_{E}\) מתקיים \(Y\MKdist\left(Y\mid X\in S\right)\).
יהיו \(\MKseq X,n:\Omega\rightarrow E\) משתנים מקריים.
טענה 2.5. טענה 2.5. אם \(\MKseq X,n\) בלתי-תלויים אם"ם לכל \(\MKseq S,n\in\MKclf_{E}\) מתקיים:\[
\MKbbp\left(\forall n\geq i\in\MKnatural\ X_{i}\in S_{i}\right)=\prod_{i=1}^{n}\MKbbp\left(X_{i}\in S_{i}\right)
\]
מסקנה 2.6. מסקנה 2.6. אם \(\MKseq X,n\) בלתי-תלויים, אז ההתפלגות המשותפת שלהם נקבעת ביחידות ע"י ההתפלגויות שלהם. כלומר אם \(\MKseq X,n\) בלתי-תלויים, אז לכל \(k\) משתנים מקריים בלתי-תלויים \(\MKseq{X'},k:\Omega\rightarrow E\) כך ש-\(X'_{i}\MKdist X_{i}\) לכל \(k\geq i\in\MKnatural\) מתקיים \(\left(\MKseq X,k\right)\MKdist\left(\MKseq{X'},k\right)\).
טענה 2.7. טענה 2.7. אם \(\MKseq X,n\) בלתי-תלויים, אז לכל \(\MKseq f,n:E\rightarrow E\), גם המשתנים המקריים \(f_{1}\circ X_{1},f_{2}\circ X_{2},\ldots,f_{n}\circ X_{n}\) בלתי-תלויים.
מסקנה 2.8. מסקנה 2.8. יהיו \(\MKseqz b,l\in\MKnatural_{0}\) כך ש-\(0=b_{0}<b_{1}<\ldots<b_{l}=n\), ולכל \(l\geq i\in\MKnatural_{0}\) נסמן \(Y_{i}:=\left(X_{b_{i-1}+1},X_{b_{i-1}+2},\ldots,X_{b_{i}}\right)\). אם \(\MKseq X,n\) בלתי-תלויים אז גם \(\MKseq Y,l\) בלתי-תלויים.
טענה 2.9. טענה 2.9. לכל סדרת משתנים מקריים בלתי-תלויים, \(\left(X_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\), ולכל סדרת תתי-קבוצות \(\left(S_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) של \(E\) מתקיים:\[
\MKbbp\left(\forall n\in\MKnatural\ X_{n}\in S_{n}\right)=\prod_{n=1}^{\infty}\MKbbp\left(X_{n}\in S_{n}\right)
\]
מסקנה 2.10. מסקנה 2.10. אם \(\left(\Omega,\MKclf,\MKbbp\right)\) הוא מרחב הסתברות בדידה, אז לא קיימת קבוצה אין-סופית של משתנים מקריים בלתי-תלויים בעלי התפלגות זהה שאינה התפלגות קבועה.
\(\:\)
3 סוגים של משתנים מקריים
יהי \(\left(\Omega,\MKclf,\MKbbp\right)\) מרחב הסתברות.
3.1 משתנים מקריים בדידים
יהי \(\left(E,\MKclf_{E}\right)\) מרחב מדיד.
הגדרה 3.1. הגדרה 3.1. משתנה מקרי בדיד משתנה מקרי \(X:\Omega\rightarrow E\) ייקרא בדיד, אם פונקציית ההתפלגות שלו (\(\MKbbp_{X}\)) היא פונקציית הסתברות בדידה. במקרה כזה פונקציית ההסתברות הנקודתית המתאימה ל-\(\MKbbp_{X}\), שתסומן ב-\(p_{X}\), תיקרא ההתפלגות הנקודתית של \(X\); והתומך של \(p_{X}\), שיסומן ב-\(\MKsupp\left(X\right)\), ייקרא גם התומך של \(X\).
מסקנה 3.2. מסקנה 3.2. משתנה מקרי \(X:\Omega\rightarrow E\) הוא בדיד אם"ם \(\sum_{x\in E}\MKbbp\left(X=x\right)=1\).
טענה 3.3. טענה 3.3. משתנה מקרי \(X:\Omega\rightarrow E^{n}\) הוא בדיד אם"ם \(\MKseq X,n\) הם משתנים מקריים בדידים.
משפט 3.4. משפט 3.4. נוסחת ההסתברות השלמה - גרסה בדידה יהיו \(X,Y:\Omega\rightarrow E\) שני משתנים מקריים בדידים, לכל \(x\in\MKreal\) מתקיים:\[
p_{X}\left(x\right)=\sum_{y\in E}\MKbbp\left(X=x\land Y=y\right)
\]ואם נסמן \(\tilde{E}:=\left\{ y\in\MKreal\mid\MKbbp\left(Y=y\right)>0\right\} \) אז מתקיים גם:\[
p_{X}\left(x\right)=\sum_{y\in\tilde{E}}\MKbbp\left(Y=y\right)\cdot\MKbbp\left(X=x\mid Y=y\right)
\]
3.2 פונקציית ההתפלגות המצטברת
הגדרה 3.5. הגדרה 3.5. יהי \(X:\Omega\rightarrow\MKreal\) משתנה מקרי.
פונקציית ההתפלגות המצטברת של \(X\) היא הפונקציה \(F_{X}:\MKreal\rightarrow\MKreal\) המוגדרת ע"י (לכל \(a\in\MKreal\)):\[
F_{X}\left(a\right):=\MKbbp\left(X\leq a\right)
\]
פונקציית ההתפלגות השיורית של \(X\) היא הפונקציה \(F_{X}:\MKreal\rightarrow\MKreal\) המוגדרת ע"י (לכל \(a\in\MKreal\)):\[
\overline{F_{X}}\left(a\right):=\MKbbp\left(X>a\right)
\]
מסקנה 3.6. מסקנה 3.6. משתנה מקרי \(X:\Omega\rightarrow\MKreal\) הוא בדיד אם"ם מתקיים (לכל \(a\in\MKreal\)):\[
F_{X}\left(a\right)=\sum_{x\in\left(-\infty,a\right]}p_{X}\left(x\right)
\]
משפט 3.7. משפט 3.7. תכונות פונקציית ההתפלגות המצטברת יהי \(X:\Omega\rightarrow\MKreal\) משתנה מקרי, מתקיימות התכונות הבאות:
\(F_{X}\left(a\right)-\lim_{s\rightarrow a^{-}}F_{X}\left(s\right)=\MKbbp\left(X=a\right)\) לכל \(a\in\MKreal\).
\(F_{X}\left(b\right)-F_{X}\left(a\right)=\MKbbp\left(a<X\leq b\right)\) לכל \(a,b\in\MKreal\) כך ש-\(a\leq b\).
משפט 3.8. משפט 3.8. תהא \(F:\MKreal\rightarrow\MKreal\), אם \(F\) מקיימת את שלוש התכונות הראשונות במשפט הקודם (3.6), אז קיים משתנה מקרי על מרחב הסתברות כלשהו כך ש-\(F\) היא פונקציית ההתפלגות המצטברת שלו.
טענה 3.9. טענה 3.9. יהיו \(X,Y:\Omega\rightarrow\MKreal\) שני משתנים מקריים, מתקיים \(X\MKdist Y\) אם"ם \(F_{X}=F_{Y}\).
3.3 משתנים מקריים רציפים
הגדרה 3.10. הגדרה 3.10. משתנה מקרי \(X:\Omega\rightarrow\MKreal\) ייקרא רציף אם \(F_{X}\) היא פונקציה רציפה.
מסקנה 3.11. מסקנה 3.11. יהי \(X:\Omega\rightarrow\MKreal\) משתנה מקרי, התנאים הבאים שקולים:
\(X\) הוא משתנה מקרי רציף
\(F_{X}\) רציפה משמאל בכל נקודה
\(\MKbbp\left(X=a\right)=0\) לכל \(a\in\MKreal\)
\(\sum_{a\in\MKreal}\MKbbp\left(X=a\right)=0\)
מסקנה 3.12. מסקנה 3.12. יהי \(X:\Omega\rightarrow\MKreal\) משתנה מקרי, אם \(X\) רציף אז לכל \(a,b\in\MKreal\) כך ש-\(a\leq b\) מתקיים:\[\begin{align*}
F_{X}\left(b\right)-F_{X}\left(a\right) & =\MKbbp\left(a<X\leq b\right)=\MKbbp\left(a<X<b\right)\\
& =\MKbbp\left(a\leq X<b\right)=\MKbbp\left(a\leq X\leq b\right)
\end{align*}\]
3.4 משתנים מקריים רציפים בהחלט ופונקציות צפיפות
הגדרה 3.13. הגדרה 3.13. משתנה מקרי \(X:\Omega\rightarrow\MKreal\) ייקרא רציף בהחלט אם \(F_{X}\) היא פונקציה רציפה בהחלט.
מסקנה 3.14. מסקנה 3.14. משתנה מקרי רציף בהחלט הוא בפרט משתנה מקרי רציף.
תזכורת:
פונקציה \(F:\MKreal\rightarrow\MKreal\) היא רציפה בהחלט אם"ם קיימת פונקציה אינטגרבילית \(f:\MKreal\rightarrow\MKreal\) כך שמתקיים (לכל \(a\in\MKreal\)):\[
F\left(a\right)=\intop_{-\infty}^{a}f\left(s\right)\ ds
\]
הגדרה 3.15. הגדרה 3.15. יהי \(X:\Omega\rightarrow\MKreal\) משתנה מקרי רציף בהחלט, פונקציה אינטגרבילית \(f_{X}:\MKreal\rightarrow\MKreal\) המקיימת (לכל \(a\in\MKreal\)):\[
F_{X}\left(a\right)=\intop_{-\infty}^{a}f_{X}\left(s\right)\ ds
\]תיקרא פונקציית צפיפות של \(X\).
\(\clubsuit\)
נשים לב לדמיון בין פונקציית צפיפות לבין פונקציית ההתפלגות הנקודתית, כפי שמשתקף בדמיון שבין הגדרת הראשונה לבין מסקנה 3.5. דמיון זה עתיד לחזור על עצמו פעמים רבות בזוגות של משפטים מקבילים שבאחד תופיע פונקציית ההתפלגות הנקודתית עבור משתנה מקרי בדיד, ובשני תופיע פונקציית הצפיפות עבור משתנה מקרי רציף בהחלט.
סימון:
פונקציית צפיפות של משתנה מקרי אינה יחידה, לדוגמה: בהינתן אחת כזו - כל שינוי שלה במספר סופי של נקודות יניב גם הוא פונקציית צפיפות1למעשה כל שינוי שלה בקבוצה ממידה אפס יניב פונקציית צפיפות - בתנאי שאינו פוגע באינטגרביליות של הפונקציה. אם נפרש את האינטגרל שבהגדרה כאינטגרל לבג (ולא כאיטגרל רימן), הרי שאין צורך בהסתייגות זו משום ששינוי של הפונקציה בקבוצה ממידה אפס אכן לא יפגע באינטגרביליות.. למרות זאת אנחנו נדבר על פונקציית הצפיפות של משתנה מקרי רציף בהחלט, ונסמן אותה ב-\(f_{X}\), מפני שכל פונקציות הצפיפות שלו זהות בכל נקודה למעט בקבוצה ממידה אפס.
מסקנה 3.16. מסקנה 3.16. יהי \(X:\Omega\rightarrow\MKreal\) משתנה מקרי רציף בהחלט. לכל \(a,b\in\MKreal\) כך ש-\(a\leq b\) מתקיים:\[\begin{align*}
\MKbbp\left(a<X<b\right) & =F_{X}\left(b\right)-F_{X}\left(a\right)=\intop_{a}^{b}f_{X}\left(s\right)\ ds\\
\MKbbp\left(X>a\right) & =1-F_{X}\left(a\right)=\intop_{a}^{\infty}f_{X}\left(s\right)\ ds
\end{align*}\]
משפט 3.17. משפט 3.17. כל פונקציית צפיפות היא פונקציה אי-שלילית, ולכל פונקציה אינטגרבילית ואי-שלילית \(f:\MKreal\rightarrow\MKreal\) המקיימת:\[
\intop_{-\infty}^{\infty}f\left(s\right)\ ds=1
\]קיים משתנה מקרי רציף בהחלט על מרחב הסתברות כלשהו כך ש-\(f\) היא פונקציית צפיפות שלו.
3.5 פונקציית צפיפות משותפת
הגדרה 3.18. הגדרה 3.18. נאמר שלשני משתנים מקריים \(X,Y:\Omega\rightarrow\MKreal\) יש צפיפות משותפת, אם קיימת פונקציה אינטגרבילית ואי-שלילית \(f_{X,Y}:\MKreal^{2}\rightarrow\MKreal\) כך שמתקיים (לכל \(a,b\in\MKreal\)):\[
\MKbbp\left(X\leq a\land Y\leq b\right)=\intop_{-\infty}^{a}\intop_{-\infty}^{b}f_{X,Y}\left(x,y\right)dydx
\]פונקציה כזו תיקרא פונקציית צפיפות משותפת של \(X\) ו-\(Y\).
\(\clubsuit\)
נשים לב לדמיון בין פונקציית צפיפות לבין הפונקציה \(\left(x,y\right)\mapsto\MKbbp\left(X=x\land Y=y\right)\) עבור משתנים מקריים בדידים, זו האחרונה מקיימת:\[
\MKbbp\left(X\leq a\land Y\leq b\right)=\sum_{x\in\left(-\infty,a\right]}\sum_{y\in\left(-\infty,b\right]}\MKbbp\left(X=x\land Y=y\right)
\]
סימון:
כפי שפונקציית צפיפות של משתנה מקרי אינה יחידה, גם פונקציית צפיפות משותפת של שני משתנים מקריים אינה יחידה. למרות זאת אנחנו נדבר על פונקציית הצפיפות המשותפת של משתנים מקריים \(X\) ו-\(Y\), ונסמן אותה ב-\(f_{X,Y}\), מפני שכל פונקציות הצפיפות המשותפתות שלהם זהות בכל נקודה למעט בקבוצה ממידה אפס.
יהיו \(X,Y:\Omega\rightarrow\MKreal\) שני משתנים מקריים.
מסקנה 3.19. מסקנה 3.19. לכל \(x,y\in\MKreal\) כך ש-\(f_{Y}\left(y\right)\neq0\)ו-\(f_{Y}\) רציפה ב-\(Y\), מתקיים:\[
f_{X\mid Y=y}\left(x\right)=\frac{f_{X,Y}\left(x,y\right)}{f_{Y}\left(y\right)}
\]
מסקנה 3.20. מסקנה 3.20. חוק בייס2על שם תומאס בייס. - גרסה רציפה לכל \(x,y\in\MKreal\) כך ש-\(f_{X}\left(x\right)\neq0\), \(f_{Y}\left(y\right)\neq0\), ובנוסף \(f_{X}\) רציפה ב-\(x\) ו-\(f_{Y}\) רציפה ב-\(y\), מתקיים:\[
f_{X\mid Y=y}\left(x\right)=\frac{f_{X}\left(x\right)}{f_{Y}\left(y\right)}\cdot f_{Y\mid X=x}\left(y\right)
\]
משפט 3.21. משפט 3.21. נוסחת ההסתברות השלמה - גרסה רציפה אם \(X\) ו-\(Y\) בעלי צפיפות משותפת אז הם רציפים בהחלט, ומתקיים (לכל \(x\in\MKreal\)):\[
f_{X}\left(x\right)=\intop_{-\infty}^{\infty}f_{X,Y}\left(x,y\right)dy
\]וכן (לכל \(y\in\MKreal\)):\[
f_{Y}\left(y\right)=\intop_{-\infty}^{\infty}f_{X,Y}\left(x,y\right)dx
\]בנוסף, אם נסמן \(R_{X}=\left\{ x\in\MKreal\mid\MKbbp\left(X=x\right)>0\right\} \) ו-\(R_{Y}=\left\{ y\in\MKreal\mid\MKbbp\left(Y=y\right)>0\right\} \), אז מתקיים גם:\[\begin{align*}
f_{X}\left(x\right) & =\intop_{y\in R_{Y}}f_{Y}\left(y\right)\cdot f_{X\mid Y=y}\left(x\right)dy\\
f_{Y}\left(y\right) & =\intop_{x\in R_{X}}f_{X}\left(x\right)\cdot f_{Y\mid X=x}\left(y\right)dx
\end{align*}\]
מסקנה 3.22. מסקנה 3.22. התנאים הבאים שקולים:
\(X\) ו-\(Y\) רציפים בהחלט ובלתי-תלויים.
\(X\) ו-\(Y\) בעלי צפיפות משותפת ומתקיים \(f_{X,Y}\left(x,y\right)=f_{X}\left(x\right)\cdot f_{Y}\left(y\right)\) (לכל \(x,y\in\MKreal\) כך ש-\(f_{X}\left(x\right)\neq0\), \(f_{Y}\left(y\right)\neq0\), ובנוסף \(f_{X}\) רציפה ב-\(x\) ו-\(f_{Y}\) רציפה ב-\(y\)).
\(X\) ו-\(Y\) רציפים בהחלט, ולכל \(y\in\MKreal\) כך ש-\(f_{Y}\left(y\right)\neq0\) ו-\(f_{Y}\) רציפה ב-\(y\) מתקיים \(f_{X\mid Y=y}\left(x\right)=f_{X}\left(x\right)\).
טענה 3.23. טענה 3.23. אם \(X\) ו-\(Y\) בעלי צפיפות משותפת אז גם \(X\) ו-\(Z:=X+Y\) בעלי צפיפות משותפת, ומתקיים \(f_{X,Z}\left(x,z\right)=f_{X,Y}\left(x,z-x\right)\) (לכל \(x,z\in\MKreal\)).
מסקנה 3.24. מסקנה 3.24. נוסחת הקונבולוציה אם \(X\) ו-\(Y\) רציפים בהחלט ובלתי-תלויים, אז \(Z:=X+Y\) הוא משתנה מקרי רציף בהחלט, ומתקיים (לכל \(z\in\MKreal\)):\[
f_{Z}\left(z\right)=\intop_{-\infty}^{\infty}f_{X}\left(x\right)\cdot f_{Y}\left(z-x\right)dx
\]
טענה 3.25. טענה 3.25. תהא \(g:\MKreal^{2}\rightarrow\MKreal\) פונקציה אינטגרבילית, ונסמן \(Z:=g\left(X,Y\right)\)3כלומר \(Z\left(\omega\right):=g\left(X\left(\omega\right),Y\left(\omega\right)\right)\) לכל \(\omega\in\Omega\).. אם \(X\) ו-\(Y\) בעלי צפיפות משותפת אז:\[
\MKbbe\left(Z\right)=\intop_{-\infty}^{\infty}\intop_{-\infty}^{\infty}g\left(x,y\right)\cdot f_{X,Y}\left(x,y\right)dxdy
\]
רוצים לפרגן לי על בניית האתר וכתיבת הסיכומים?אתם מוזמנים לתת טיפ.להורדה כ-PDF:
#scrollButton {
position: fixed;
bottom: 0.7em;
right: 0.7em;
z-index: 1;
height: 3.5em;
width: 3.5em;
cursor: pointer;
background-color: #084149;
opacity: 80%;
}
#scrollImage {
position: fixed;
bottom: 0.7em;
right: 0.7em;
height: 3.5em;
width: 3.5em;
opacity: 80%;
}
function scrollToTop() {
window.scrollTo({ top: 0, behavior: 'smooth' });
}
דפי האתרדף הביתאודותצור קשרמפת אתרענפים מתמטייםאנליזהאלגברהענפים נוספיםמאמריםאקסיומת השלמותסיכומי הרצאות במתמטיקה
{"prefetch":[{"source":"document","where":{"and":[{"href_matches":"\/*"},{"not":{"href_matches":["\/wp-*.php","\/wp-admin\/*","\/wp-content\/uploads\/*","\/wp-content\/*","\/wp-content\/plugins\/*","\/wp-content\/themes\/twentytwentyfive\/*","\/*\\?(.+)"]}},{"not":{"selector_matches":"a[rel~=\"nofollow\"]"}},{"not":{"selector_matches":".no-prefetch, .no-prefetch a"}}]},"eagerness":"conservative"}]}
דף הביתתרומהשיעורים פרטייםמפת אתראודותREADMEהתנצלותו של המתמטיקאיהקדשהאנליזהאלגברהענפים נוספיםמאמריםיסודותצור קשרעודלאתר הקודםsrayaa.comעִבְלִיקְסתנ"ך ברויאר מוקלט
( function() {
var skipLinkTarget = document.querySelector( 'main' ),
sibling,
skipLinkTargetID,
skipLink;
// Early exit if a skip-link target can't be located.
if ( ! skipLinkTarget ) {
return;
}
/*
* Get the site wrapper.
* The skip-link will be injected in the beginning of it.
*/
sibling = document.querySelector( '.wp-site-blocks' );
// Early exit if the root element was not found.
if ( ! sibling ) {
return;
}
// Get the skip-link target's ID, and generate one if it doesn't exist.
skipLinkTargetID = skipLinkTarget.id;
if ( ! skipLinkTargetID ) {
skipLinkTargetID = 'wp--skip-link--target';
skipLinkTarget.id = skipLinkTargetID;
}
// Create the skip link.
skipLink = document.createElement( 'a' );
skipLink.classList.add( 'skip-link', 'screen-reader-text' );
skipLink.id = 'wp-skip-link';
skipLink.href = '#' + skipLinkTargetID;
skipLink.innerText = 'לדלג לתוכן';
// Inject the skip link.
sibling.parentElement.insertBefore( skipLink, sibling );
}() );